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初中数学名师工作室

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“小折叠大应用”——听课有感  

2015-05-18 08:53:06|  分类: 成果展示 |  标签: |举报 |字号 订阅

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                             铭传中学    孙莉莉

2015423日在卫校长的带领下,我来到了长镇民族中学参加名师工作室的研讨课交流活动。下午的两节课分别由上排实验学校的卫志勇老师、合肥四十五中的曹宏卓老师展示。两位老师都展示了各自的教师风采与个性鲜明的教学风格,我在两位老师身上也学到了许多。严谨的教学、亲切的教风得到了各位专家和老师的好评!

因本人现带九年级,所以对曹老师上的勾股定理这节复习课印象尤为深刻,在课堂上曹老师所举有关折叠类的问题,引发了我的思考。在九年级复习这一阶段,已经不能为了复习知识而把各个知识点单纯讲解一遍,教师应该多总结梳理知识间的练习与常见题型。现对于“折叠类”问题,谈谈自己的浅薄认识。

一、利用折叠求线段长度

1、在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=3,折叠该纸片,使点A与点B重合,折痕与ABAC分别相交于点D和点E,求折痕DE的长。

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 分析:根据“有折叠有全等”易得

AED≌△BED,于是有BE=AE,

EBD=30°,

又因为∠CAB=60°,所以∠CBE=30°

又因为EDAB(折叠所得)

所以CE=ED,

RtADE中,根据30°所对的边

等于斜边的一半,可以列方程解决此题。

解:设CE=x,则AE=3-x 

由折叠得△AED≌△BED

BE=AE,EBD=30°,

又∵∠CAB=60°,∴∠CBE=30°

又∵EDAB(折叠所得)

CE=ED,

CE=DE ,DE=x  

RtADE中 ,∠A=30°

∴ AE=2DE,即3-x=2x

解得x=1,∴ DE=CE=1  

本题涉及到特殊角度求折痕的长,如果不是特殊角度,求线段的长度又该怎么办呢?

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 2  RtABC中,AB=9BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC中点D重合,折痕为MN,求线段BN的长。

分析:根据“有折叠有全等”得

AMN≌△DMN

于是有DN=NA, DM=AM

又因为D是中点,所以BD=3

RtBDN中,BNBDDN三者之间满足勾股定理,所以列方程求解。

解:设BN=x,AN=9-x

∵△AMN≌△DMN

DN=AN=9-x

又∵DBC的中点,∴BD=3

RtBDN中,BN2+BD2=DN2

∴(9-x2=32+x2

解得x=4,BN=4

小结:此类利用折叠求线段的长度的题型,一般是通过列方程解决。而列方程就要找等量关系。有的是利用特殊角对应的边之间的关系建立方程,有的是在直角三角形中利用勾股定理建立方程。但在列方程之前,都要通过“有折叠有全等”找出一些相等的线段,从而进行设未知数求解。

二、利用折叠求角度

1、如图,长方形ABCD沿AE折叠,使点D落在边BC上的F点处,如果∠BAF=60°,则∠DAE=(       )

分析:根据“有折叠有全等”有

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 AFE≌△ADE,于是有对应角相等

EAF=EAD

而条件告知∠BAF=60°,所以利用互余

可知∠DAF=30°,从而得到∠DAE

的度数为15°.

2、如图,在RtABC中,∠ACB=90°,∠A=BCM是斜边AB的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在D处,如果CD恰好与AB垂直,那么∠A等于多少度?

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 分析:根据“有折叠有全等”

可知△ACM≌△DCM

所以有对应边相等:




AC=DC,AM=DM

对应角相等:∠1=2

而在Rt△中有斜边上的中线等于斜边的一半,所以有

CM=BM=AM.

由此可知CM=DM=AM

那么就有角相等:1=A,

又因为CDAB,就有角互余:∠3+B=90°,而∠B+A=90°

所以∠3=A

因此有,∠2=1=A=3

于是可知∠1=2=3=30°,即∠A=30°

总结:求角度问题一般要利用全等三角形对应角相等这一性质,再通过题目中所给条件寻找角度之间的关系,通常这类题目都与直角三角形有关,所以在直角三角形中,两锐角互余也是一个重要的隐含条件。

三、利用折叠证明相关结论

1、(2014年淮安中考)如图,在三角形纸片ABC中,AD平分

BAC,将△ABC折叠,使点A与点D重合,展开后折痕分别交ABAC于点EF,连接DEDF,求证:四边形AEDF是菱形

 

分析:本题通过折叠考察菱形的判定,难点在于如何


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 找出这条折痕EF,或者说图中画出这条折痕,同学们



是否记得EFAD之间的关系,折叠除了有全等之外





还有另外一个重要的特征:对应点之间的连线被



折痕垂直平分。(轴对称图形的性质)




由题意可知点A的对应点为点D,那么连

AD,即使图中没有给出折痕EF,同学们也应该能画出,因为EF垂直平分AD,而对于四边形AEDF已经有对角线互相垂直,如果能证明其是平行四边形,即可证明其是菱形。

证明:∵点A的对应点为点D,折痕为EF

      ∴EFAD

      ∵AD平分∠BAC

∴∠1=2

又∵AF=DF(折叠对应边相等)

∴∠2=4

即有∠1=4

AEDF

同理可得∠2=3

DEAF

∴四边形AEDF为平行四边形

又∵EFAD

∴四边形AEDF为菱形

2、如图,在RtABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一点D处,折痕为EF(点EF分别在边ACBC上)

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 给出以下判断:

① 当CD⊥AB时,EF为△ABC的中位线

② 当四边形CEDF为矩形时,AC=BC

③ 当点D为AB中点时,△CEF与△ABC相似

④ 当△CEF与△ABC相似时,点D为

AB中点

其中正确的是               (把所有正确结论的序号填在横线上)

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 分析:此题要画出折痕EF才能判断以上结论,而由于折叠,我们可得知点C的对应点为点D,那么折痕EF必垂直平分CD,所以画出CD即可画出EF.




对于,可作图。如右图


EF⊥CD且平分CD.易得EF为

ABC的中位线

故结论正确

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 右图可知,结论不正确,因为此时△CEF与△CAB相似,由图可看出,点D不是AB的中点

对于,如果四边形CEDF为矩形,其对角线分别是CD

EF,而CDEF所以其准确的说是正方形

而在△ABC中我们能找到正方形即可,


并不要求AC=BC

所以结论不正确

对于③,作图画出EF,


因为∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点




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 所以CD=AD=DB




就有∠1=A

而∠A+B=90°

1+2=90°

所以∠2=B

ACB为公共角等于90 °

所以△CEF与△ABC相似,即结论正确

综上得①③结论正确

 

小结:初中数学中有关折叠类的问题类型并不是只有这几种,但是有关折叠的问题,一定有对应边相等,对应角相等,对应点连线被折痕垂直平分,根据这些性质,可以帮助我们解决相关问题。(本人拙见)

 

 

                                     2015年4月30日

                                       铭传中学孙莉莉

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