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一说“数学潜能”——给教师和家长听  

2014-02-09 15:34:56|  分类: 转载借鉴 |  标签: |举报 |字号 订阅

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一说“数学潜能”——给教师和家长听

一说“数学潜能”——给教师和家长听

方运加

 本文是作者为《中小学数学(小学版)》2012年第6期撰写的编者语

 各位好!

        在座的都是教育利益相关者,或是孩子的家长、或是孩子的老师,或既是老师也是家长,大家都关心教育问题,都为面临的教育现实感到困惑。我也是如此,不比各位困惑少。教育是个人人都有发言权的领域,对教育不满意是“永恒话题”,作为你们中的一员,面对你们,尽我所知而已,根本上还要各位自己判断、自己拿主意。

       主持人提出的第一个问题:我们在生活中怎样去发现孩子的巨大潜能?怎样从生活的点点滴滴中,去发现孩子的巨大潜力。 

       什么是潜力?什么是巨大潜力?这不好说。潜力并无一般性的为世人所公认的定义;潜力并不像某些矿藏那样在地表处有零零星星的露头,找矿者可据此寻得富矿。经验表明,从日常生活中发现潜力这个事难有规律可循。咱们国家有个在2011年4月19日获得美国艺术与科学院院士的张寿武教授,研究领域是算术代数几何,是世界顶级数学高手。他1962年生于安徽巢湖,家里十分贫困,父母种田捕鱼养鸭。他7岁读村小,读了两天就回家了,第二年想去上学了,这时需要考试才能入学。没念过书怎么考?大他9岁的小学生哥哥教了教他,结果他勉强考上了。这事使他对自学感到了兴趣,小学四年级时,他就想成为数学家。1980年他参加高考,数学考砸了,化学分数最高,被录取到中山大学化学系,但初中时受陈景润故事的影响,他认为数学是能掌握在自己手里的学问,于是主动要求转入中大数学系,1983年毕业,考入中科院数学研究所,师从中科院院士王元。在这之前,谁认识到张寿武有什么潜力呢?看来没有。在王元那里,他的自学潜能得到了充分的展现,王元给了他独立研究的充分空间。硕士答辩时,王元说,你讲的东西我们一个字也听不懂,但考虑到你每天8点之前就到办公室,很用功,这个硕士学位就送给你了,以后要靠真才实学才行。张寿武想到美国哥伦比亚大学读博士,托福考了480分,而录取线是550分,但王元对“哥大”的教授说“张寿武是我们中国最好的学生”,于是“哥大”录取了他。到此,方有院士王元看到了张寿武的潜能——自学,并据此认为张是最好的学生。王元是伯乐。张寿武后来做出了一流的成绩,他于1990年证明了数学难题波戈莫洛夫猜想,2001年建立和推广了“格罗斯—阜基亚—张公式”。看来自学、自己主动搞清某个问题是非常有前景的潜能。张寿武的经历不是孤案,还有很多!

       例如俄罗斯数学家格里高里·佩雷尔曼,他证明了“庞加莱猜想”,这在数学领域是顶了天的重大成果。佩雷尔曼的母亲曾经是数学研究生,后来在一家中专学校教数学。她感觉自己这个上小学的儿子很有数学天赋,理由是儿子在参加一个区的数学竞赛时取得了不错成绩。于是1976年,五年级的佩雷尔曼被母亲送入了“列宁格勒先锋宫”数学俱乐部,这有点像我国现在的“奥校”。只不过在这里,孩子们走进教室,黑板上会有一组问题或收到一份卷子等着他们来解答,他们坐下来,开始答题。教练大部分时间都会静静地坐着,有时会对学生进行指导。佩雷尔曼的教练卢克欣曾经是个“问题小孩”,喜欢拳击,还干过些违法的事,到读高中时,奇迹发生了,卢克欣爱上了数学,他的创造力、进取心和充沛的精力完全用到数学上了。但是他参加数学奥林匹克竞赛比不过同年龄的孩子。后来他到“列宁格勒先锋宫”数学俱乐部当了助教。卢克欣培养学生的办法与他人不同。每次下课他都给学生布置一张数学题单子,这个单子是因班、因人而宜随时调整的,三天之后,学生们带着自己的解答回来,一个一个地向卢克欣解释自己的解答,然后卢克欣再在黑板上将所有正确的解答重温一遍。随着年龄的增长,学生们逐渐地开始自己在黑板上给全班同学讲解他们的解答。卢克欣后来说:“这是我最大的诀窍”,“三十年前我就发现了这一点,每个孩子在解说每一个他认为自己已经解答了的问题时,我都要认真听完他的解说过程”,而其他的教练则让孩子们把他们的答案展现给全班看,这意味着只要第一个正确答案出现,讨论就结束了。卢克欣的策略则是让每一个孩子与老师单独谈话,让这个孩子谈谈他的成功之处,遇到的困难和犯下的错误。卢克欣认为自己的最大收获是产出了佩雷尔曼。当然,不仅于此,他教过的学生获得了七十多块国际数学奥林匹克奖牌,其中有40多块金牌。这样的“数学俱乐部”在我们中国目前还没有。佩雷尔曼13岁时在这个俱乐部里接触到了拓扑学,说明这个机构不仅是为竞赛设立的。这个俱乐部会经常请大学的教授来给学生讲更深入的知识。我们的奥校并无此类雅兴,除了金牌、升学一类的功利,绝无其他。分析卢克欣的教学特点,就是设法培养学生独立搞懂问题、研究问题的能力。这种教学方法似乎并不普遍适用,但对于那些兴趣浓厚的学生,肯定是最有效的。

       我谈了两个在目前数学领域里份量很重的人,重到可望而不可及的程度。对于稍微普通一些的孩子来说,如何发现他们的潜能呢,尤其是在幼儿、小学阶段就能发现的潜能呢?这需要专业精神乃至专业能力,才可能会有所认识、有所发现。

       50多年前,前苏联数学教育家克鲁捷茨基在《中小学生数学能力心理学》一书中记述了几个在小学阶段就被发现具有数学天赋的个案。其中记述了一个叫索尼娅的小女孩的某些特点,例如她玩洋娃娃可以玩上几个小时,面对容易的事情,她就会心不在焉。她能够做到注意力高度集中,当然,她全神贯注时与其他人不一样,并不是安静地坐下来,而是到处走动着,表现得坐立不安。有一次,她要解决个难题,突然站起来,到床上躺了一下,以认真的态度翻了一个斤斗,然后回到自己的椅子上。当她四岁时,其父母首次注意到她具有数学方面的能力,在没有人教过她的情况下,她学会了数数,原因是她有一次听到哥哥(读二年级)朗声做算术作业。

       没有人对她特别指导过数学,甚至她的父亲有意避免传授任何知识给她。她计算数学题的方法一点也不简单,但基本上是正确的,是自己想出来的。例如,当她被问到“你是怎样作出1?角的?”她回答说:“你必须把一个圆分成360份,然后擦去359份,把剩下的一份与圆心连结起来”。这个孩子喜欢推理,喜欢探索解题方法,她先后跳了三次级,15岁(1965年)考进了莫斯科大学数学力学系。她的潜力算是较早被发现,但未被人为雕琢,也未发展受限,自然成长使然。

       克鲁捷斯基还记述了一个叫伏洛佳的孩子,16岁进入大学,他在幼年时期就开始独立地发展创造性的思维,着迷于数学、化学、物理。由于他的能力大大胜过他的同学,所以有几门课他可以不必听而直接参加考试。他父母对他极少督促,读高中时,他定期在莫斯科大学数学力学系的一个数学小组学习。周围的人注意到他深思熟虑的能力以及他在分析、寻找相互关系和概括等方面的素质。

       还有个叫基里亚的孩子,学习数学毫不费力,很大一部分是完全独立地学会的。一逢解题,他就变得全神贯注,专心至致,会忘记一切。

       总之,克鲁捷斯基详细记录了这些孩子的学习特点。这些孩子在幼儿和小学阶段、在少有人干予的情况下表现出了兴趣、专注等特点,没人教他们、逼他们,他们均能自主的掌握同龄人难以自主掌握的知识。等到进入小学高年级,一般在9岁以后,家长要做的,就是创造更好的学习条件,让他们得到充分发展,这不仅是在前苏联才有的事情。

       下一个例子是越南人,世界顶尖数学家菲尔兹奖获得者吴宝珠,他是个70后,父亲是大学物理教授,母亲是副教授(医学)。吴宝珠开始上小学时仅与母亲在一起,父亲当时在苏联获得数学博士学位后留在那里工作。吴宝珠在河内一所实验小学读书,这所小学鼓励学生独立阅读、自由表达。但父亲回国后对这所小学不满意,把他送到集中了许多有数学天分学生的天才学校。谢天谢地,这一步走对了!吴宝珠从初中开始有机会做许多数学练习,喜欢上了数学。初中毕业(1987年),他考入河内大学附属高中的数学专修班,这个班规模很小,在这里他参加了两届国际奥林匹克数学竞赛,获得两次金牌。值得庆幸的是,他又一次作了正确选择,转到法国读高中,在法国高中,他有了指导老师,这儿的学习不是为了奥赛,而是为研究作准备,这不同于越南的高中。之后他上了法国高等师范学校,这是世界上最好的大学之一。2009年,吴宝珠完成了一个伟大的数学证明,这个证明被美国《时代》杂志评为2009年十大科学发现之一。这个事挺刺激人!我国目前还没有吴宝珠这样的、有如此成就的数学家。正如最近“两会”委员们所说,我国大学升学率提高10多倍,但缺少“塔尖”。吴宝珠谈到自己的数学之路时说:“参加奥数竞赛不同于作数学研究,参加奥数竞赛,你需要在有限的时间里精通各种技能,这有助于人们解决复杂和技巧性的问题,有助于帮助学生理解复杂的具有挑战性的数学问题;但危险是它们没有尊重数学自然的简洁美。是否成为一名数学家主要取决于个人,以及他对数学的品位,但这种转化不是直接的。我认为,对数学家来说品位非常重要。”如何培养自己的数学品位呢?“培养品位需要相当长的时间与数学在一起,花时间学习。”“当你想作数学研究的时候,与数学在一起是愉快的,在数学中,你会感到它的自然;数学是描述世界的最美语言,它很简单,因此也是最经济的语言,不多也不少。”

       我们谈到的都是数学精英,这些精英从小学起就表现出对数学的热爱,并得到了包括家长在内的“贵人”的扶持,这些人的共性是“大气”。这是我的说法,为什么这样说,这些人从小就以自己的兴趣为中心,能做到精力高度集中,不以功利为目的,他们基本上不将自己的兴趣和未来利益联系在一起。他们的家长、教师都充分的尊重了这一点,这是一流人才、顶尖人才在初始发展阶段必具的条件,缺乏这个条件,其发展轨迹就有可能不稳定,前景难料。

       再说一个人,也是菲尔茨奖获得者,他的名字叫威滕(Louis Witten),他的第一学位是美国布兰戴斯大学历史学学位。这可能令中国人不解,历史学与数学菲尔茨奖似乎很不相干。是的,威滕从26岁才开始专门研究物理和数学,现在他是这两个领域中最顶尖的人物,这当然缘于他做出了重大突破性贡献。威滕不是数学家,但有人评价说在这个星球上,没有人的数学才能可以超过威滕。威滕研究的是“超对称”。关于威滕,我没有什么更多的话可说,我只想问,在我们国家能产生威滕这样的人吗?从眼下的教育来看,还不大可能。

       比较现实的、客观的说,对更多的人,重要的不是成为数学家,而是从数学中汲取营养、充实力量、获取进入科学殿堂的资格。正如克鲁捷茨基所说:“任何人都能成为一名普通的数学家,但是杰出的、天才的数学家一定是天生的。”前苏联柯尔莫戈罗夫说过:“在数学领域内……天才、天赋…并不是天生的赋予每一个人的。”这些话,从现在来看是正确的。但是,对所有的人来说,在中小学阶段学好数学课程是完全可能的,而且是绝对必要的。2012年3月7日法制晚报有个消息,说美国《福布斯》杂志有篇文章总结了亿万富豪的八大共同特性,第一条就是亿万富豪中有相当一部分人的父母具有较高的数学天赋,而数学才能是可以遗传的。这项研究是在对全球657名白手起家(非世袭)的超级富豪进行研究之后得出的结果。当然,这项研究的科学性值得质疑,但与通常的认知是并行不悖的。数学学情常被视为聪慧的标志。

       主持人的第二个问题:我们怎样做能更好的开发孩子的数学潜能?

       这个问题与第一个问题有联系。幼儿园、小学校的制式教育并不利于开发孩子的潜能,孩子的潜能在最自然的状态下才最有可能露头,家长应该是孩子潜能的第一发现者,若未做到这一点,学校教师或其他的什么人最好能成为孩子潜能的发现者并知会家长,家长应该采用最有利于孩子的生活、活动和学习空间,切忌强化、逼迫式的说教,尽量让孩子自己愿意、喜欢,最低要求是不反感。新东方的数学教学要努力向这个方向努力,客观认识孩子,给家长提供积极的咨询建议,创造活跃的气氛。然后,非常重要的,就是有一个好的启蒙老师,聪明的、有责任心的启蒙老师是十分关键的。家长要注意兴趣导引,不要破坏孩子的兴趣。我的一个同事(数学物理方面的科学家),他和孙子常玩扑克21点,大人有顾虑,抓到16或17点就不敢往下抓了,但小孩无这等顾虑,能继续抓,所以小孙子的赢面反而高。公平的输赢游戏,小孩有兴趣,在这个过程中,两位数加减法、进位、退位口算就都掌握了,自然掌握了。这个小孩子现在还不到6岁,还没上学,他与爷爷玩“五子棋”能采用谋略赢他爷爷,他能叙述这个谋略是什么。看来,发现和开发潜能的最好办法是引发兴趣、保持兴趣,对外界事物能产生兴趣。小孩玩的兴趣首先应该被发现、被开发。幼儿、小学生的潜能培养环境要单纯一些,不要太乱、太复杂、闹哄哄的,一对一最好,每天要有一段时间的一对一。否则很容易淹没在人海中。大人要用智慧的理解方式教授孩子。“聪明人教出聪明人”是常识性的教育规律。当你认识到这孩子你教不了了,赶紧撒手,另请高明。这个主意对家长也适用,别让愚蠢把孩子捂住。数学大师高斯读高中时对数学有兴趣,但也仅限于想用数学方法证明上帝的存在。校长出来干予了,他拿了本勒让德的巨著《数论》给高斯读。八百多页,高斯七、八天就读完了。校长用书中的题考他,他都会做。校长意识到高斯不能再在这儿呆着了,就举荐他读大学。这位校长很了不起,很可能是由他的这一举动,产出了人类最智慧的精神产品,高斯的贡献人所共知。陶哲轩也是如此,我建议大家读读他15岁时写的一本书《陶哲轩教你学数学》。陶哲轩是澳籍华人,菲尔茨奖获得者,是数学顶尖人才,据说在数学领域中,有许多方向的人都在努力吸引陶哲轩关注他们的问题。因为只要陶哲轩关注了,问题的解决就有极大的可能。2012年5月15日新华社报道,陶哲轩在研究“弱哥德巴赫猜想”上取得突破,有望最终解决这个于1742年哥德巴赫在写给数学家欧拉的信中猜想:“任一大于5的整数都可写成3个质数之和”。强哥德巴赫猜想则是欧拉在回信中提出的“任一大于2的偶数都可写成两个质数之和”。陶哲轩的证明是“可以将奇数写成5个质数之和。”他说有望将所需质数的数目降至3个。他还表示,“弱哥德巴赫猜想”的证明比“强哥德巴赫猜想”的证明要容易得多。陶哲轩上小学时遇到了一个好校长。怎么好?校长发现他非常聪明、非常出色,就向他的家长建议让陶哲轩读中学去,不要在小学继续呆着了。这在我们这儿几乎不可能,校长要靠这样的孩子为校争光。由于我们的校长都这样想,于是产出不了陶哲轩这样的人类俊杰。而较少受小学、中学教育的人反有可能做出大贡献,象张寿武这样的。我知道好几位较为出色的数学家,他们都是在“文革十年”中读的小学、中学,没学到什么。说明像现在这样学,反而不如“不学”,现在这样学比不学要糟糕得多。

       第三个问题,为什么要搞潜能大赛,而且还将语文和数学综合到一起。

       说大赛就要论胜负,潜能怎么论胜负?准确说,搞这个大赛是为发现、展示、发挥潜能构建一个平台,是激发兴趣的手段,也是让学生认识自己的一个机会。就数学来讲,既保留了传统的数学竞赛方式,又创设了“建模”和团队研究这种活动方式。“建模”是被当前小学或中学误解较多的活动。“数学建模”是数学应用活动,是用数学方法解决实际问题的活动。实际问题具有一定的复杂性,要建立解决实际问题的数学模型,首先遇到的就是简化,即,将复杂的、多因素的现实简化为简单的、较少因素的简化版现实,这样就有了观点或认识上的区别,譬如,哪些因素是关键的,哪个因素因不重要而可暂时放弃不考虑,观点不一样,看法不一样,简化的因素或要素就不一样,建立的数学模型也就不一样。这些模型可能有优劣的区别,也可能难以区别,这在客观上产生了不同的算法,出现了算法多样化现象。自然的,在多种模型、多种算法中选最优就成了必需,既可能是优中选优,也可能是矮子里面拔将军。总之,这属于天地较宽的数学活动,参加者的表现可以比单纯答卷解题更丰富,评价的空间也更大。可能会出现争论,也可能意见高度一致,总之不大省事,是不大省事的竞赛活动,但却是个更能展现学生潜能的活动。通过活动认识自己、找到自己、发展自己是最重要的成果。而团队研究是难度较大的活动,分工合作,发挥每个人的最大特长或特点可能是团队研究取得好成绩的关键。但同样要说的是:团队研究活动是体验式活动,并且在短时间内,这种体验远做不到充分,因此强弱好坏难以区分,在各队都能研究出结果的情况下,也还有研究过程和表达上的区别,因此评价是有难度的。好处是每个人都能得到合作研究的体验,这是本次活动最重要的目的。死活都要争第一的观念是国安队踢球的理念,输赢好区别。研究、团队研究是复杂的事物,使每个人都能发挥作用是这类竞赛最重要的目标。数学领域有个重要的定理,代数的“有限群完全分类”定理,这个定理的证明时间跨度不少于二十年,涉及不少于300篇论文,有百余位数学家为此做了前赴后继的努力(北京大学段学复教授贡献了其中一篇论文),这些论文都是不可或缺的。他们之间少有相互认识的,但却通过公开发表成果而为证明这个定理做出了贡献,这就是数学领域较为典型的合作研究。新东方尝试培养小学生合作研究能力和意识,是非常有意义的。

       说了不少,可能有谬误,敬请纠正。最后祝新东方举办的本次潜能大赛活动取得成功。

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