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提高初中函数学习效率的几点思考  

2014-12-25 21:35:21|  分类: 成果展示 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自合肥市数学名师工作室《提高初中函数学习效率的几点思考》

提高初中函数学习效率的几点思考

 

安徽省肥西县上派初级中学231200 卫德彬

 

摘要:函数是中学数学的核心内容,函数思想具有其他数学思想所不及的作用.但因其概念抽象、综合程度高、解题方法灵活,故难点较多.为提高学习效率,在教学时要树立“运动变化”的观点,要活用“平面直角坐标系”平台,要渗透“数形结合”的数学思想,要掌握确定函数解析式的方法——“待定系数法”,要建构研究函数问题的“基本套路”.

关键词:函数;运动变化;平面直角坐标系;数形结合;待定系数法;基本套路

 

函数是中学数学的核心内容,是代数的“纽带”,代数式、方程、不等式、数列、微积分等都与函数知识有直接的联系.同时,函数在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用,在解决生产生活中的实际问题时,也往往采用函数作为建模的基本工具.另外,函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义,从常量数学到变量数学的转变,是从函数概念的系统学习开始的.因此,函数的教学非常重要.下面就本人从事初中函数教学与研究的实践谈点体会,敬请老师和同行斧正.

1 要树立“运动变化”的观点

函数描写运动,刻画一个变量随着另一个变量的变化,给出一个数集到另一个数集的对应关系.而在初中学段引入的函数概念,是从运动变化的观点出发,用“变量”来描述函数:“在一个变化过程中,如果有两个变量xy,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,则称x为自变量,yx的函数”.其核心的意义是反映出了在某一个变化过程中,两个变量之间的依赖关系,即一个量随另一个量的变化而变化,因此,原本静止的数的概念之间便产生了一种动感的联系,例如,我们生活中熟悉的行程问题中路程、时间和速度的“一定两变”规律,工程问题中总量、效率和时间的“一定两变”规律等,都让我们产生了一种运动数学的感觉.

在实际教学过程中,笔者启发学生自己去寻找、发现类似的变量关系,许多学生都举出了身边的事例:生长期时身高随着年龄的变化而变化;一天中的气温随着时间的变化而变化;工厂的收人随着产量的增加而增加;也有少数学生想到了二元一次方程的无数解,在方程2x-3y=1中,当x的取值发生变化时,y值随着x的变化而变化……

在阐述这种运动关系时,还应该用式子、表格、图示的方法举例描述,以加深学生对这种抽象运动关系的直观认识,这样就可以逐步地帮助他们树立起“运动数学”的观点.

2 要活用“平面直角坐标系”平台

在理解函数概念的基础上,要启发学生明白研究函数的意义和方法,以及研究函数性质的必要性.为了更好地体现不同函数关系式的不同特性,我们可以通过研究函数的图象来反映函数的性质差异,那么怎样建立函数的图象呢?我们可以依赖于一种工具——平面直角坐标系,它是各类不同函数展示各自特性的平台,在这个平台上,以另一种方式反映了变量之间的关系,可以使学生更形象直观地了解不同函数的性质.其实在实际学习过程中,有很多学生直到初中毕业,也没明白函数的解析式与函数图象的关系,不知道为什么要进行列表、描点和连线,也不知道函数解析式怎么就过渡成为函数的图象,而只是一味地死记它的画图步骤和教师强调的注意点,缺乏知其所以然的认识.其实我们在教学过程中,当学生理解了有序实数对、平面内点和坐标之间的一一对应关系后,有必要告诉学生,我们在列表、描点过程中,函数中两个变量的顺序是人为规定的,规定了自变量的取值作为点的横坐标,而与之对应的因变量的值作为点的纵坐标.

笔者在指导学生画函数图象的过程中,列表以后,又增加了一个步骤:所得到点的坐标是:                                   、……在完成这一步骤以后,大多数学生能认识到由数到形过渡的自然性和合理性.当然,“平面直角坐标系”这一平台的作用,还要在今后的解题应用中逐步去体会.

3 要渗透“数形结合”的数学思想

数形结合思想是初中数学中一种重要的思想方法.何为数形结合的思想方法?我们知道,数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学,数和形是数学知识体系中两大基础概念,把刻画数量关系的数和具体直观的图形有机结合,将抽象思维与形象思维有机结合,根据研讨问题的需要,把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论,或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算,即数与形的灵活转换、相互作用,进而探求问题的解答,就是数形结合的思想方法.它能扬数之长、取形之优,使得“数量关系”与“空间形式”珠联璧合,相映生辉.

“数形结合法”是函数学习的最重要的学习方法,它和代数方法、几何方法有着明显的不同.学生对“数形结合法”的适应需要一定的时间,因为学生对代数解析式与几何图形之间的对应还不适应,从正比例函数到反比例函数,最后进入二次函数的学习过程中,要使学生认识到几种函数的直观对应关系:一次函数对应直线,反比例函数对应双曲线,二次函数对应抛物线.通过对图像的认识与感知,学生体会到“数形结合法”的优点:“准确简洁的解析式,直观形象的图像.

在函数这部分内容中,蕴涵着丰富的数学思想,其中最重要的是数形结合思想,因此在函数的教学过程中如何渗透与应用数形结合思想方法,就显得尤为重要.在历年的中考试题中,也侧重了对数形结合思想方法的考查.

4 要掌握确定函数解析式的方法——“待定系数法”

初中函数部分体现了一些基本的数学方法,如配方法、公式法、待定系数法等,其中待定系数法在确定各种函数解析式中有着重要的意义,不论是正、反比例函数,还是一次函数、二次函数,确定解析式时都离不开待定系数法.

何为待定系数法?对于某些数学问题,根据题意引入一些系数,通过变形与比较,建立起含有待定系数的方程(组),并求出相应字母系数的值,从而使问题得到解决的方法,我们称之为待定系数法.其中尚待确定的未知系数,称为待定系数.在用待定系数法求函数的解析式时,需要启发学生注意以下两点:

1)明确求函数解析式的一般步骤:

①写出函数解析式的一般式,其中包括未知的系数;

②把自变量与函数的对应值代人函数解析式中,得到关于待定系数的方程或方程组;

③解方程(组)求出待定系数的值,从而写出函数解析式.

2)在设定解析式时,要注意不同类型的函数其待定系数的个数是不同的,因而所需独立条件的个数也是不一样的.

5 要建构研究函数问题的“基本套路”

就函数这部分内容,笔者曾研读过各个版本课标教材,发现都是按照从一般到特殊的线索展开.对于一般函数,要研究它的概念、表示法、图象等;对于特殊函数,要研究它们的概念,图象和性质以及其他一些相关问题.仔细比较各个版本的教材,可以发现教材对于各个部分内容的处理思路、呈现方式也是基本一致的,其中存在着很多研究方法的联系.

例如,对于反比例函数概念的教学,大多经历这样的过程:从一些具体实例引入(包括匀速运动路程固定,速度与时间的关系;商品总价固定,单价与商品数量的关系;长方形面积固定,长与宽的关系;等等);让学生概括其中的共同本质特征(函数关系,反比例关系);下定义(给出反比例函数的文字和符号描述);辨析概念(从反比例关系、函数两方面辨析概念,注意反例的使用);例题(给出用概念作判断的操作步骤);反思(与正比例函数、一次函数作比较,纳入概念系统)等.这个过程实际上体现了概念教学的几个基本环节:

概念的引入(从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入);

概念的形成(提供典型丰富的具体例证,概括其本质属性);

概念的明确(准确的数学语言描述概念的内涵与外延);

概念的表示(用数学符号表示,这是数学概念的特色);

概念的巩固和应用(以实例(正例、反例)为载体分析关键词的含义,应用概念作判断).

实际上,相关的函数概念的教学都要经历这样的几个过程.因此在教学过程中,适时地给他们一些“先行组织者”,加以研究方法的引导,对于学生理解相关概念是大有裨益的,可以起到事半功倍的效果.

再如,对于几种特殊函数性质的讨论,也有很多研究方法的联系.无论是对于正比例函数,还是一次函数、反比例函数、二次函数,都要研究以下问题:

研究的内容:自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性等;

研究的方法:“三步曲”——画函数图象,观察归纳特征,数学语言描述性质;

相关的问题:图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等.

这些内容,反映了我们研究函数问题的“基本套路”.在开始对特殊函数的研究中,需要教师遵循这个套路,并能适时归纳和总结.在后续对其他函数的研究中,这个先行组织者就能起到“导游图”的作用,为将要学习的内容提供了一个框架或线索,使学生对学习进程心中有数,有助于学生完成后续内容的学习.

 

参考文献

1 中华人民共和国教育部制仃.全日制义务教育数学课程标准(2011年版)[M].北京:北京师范大学出版社,2011.

2 李海东.从各版课标教材的比较谈初中函数教学[J].数学通报,201012.

3 王防英.初中数学函数概念的教学探究[J].中学数学教学参考(上旬)2011(9).

4 薛国凤,土亚晖.当代西方建构主义教学理论评析[J].高等教育研究,2003(1).

5 黄世芳.探讨运用数形结合的思想分析解决问题[J].现代教育教研,2009(6).

6 徐德本.初中函数教学要把握好“四个一”[J].中学数学教学参考(下半月)2008(9).

 

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