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再谈“用字母表示数”  

2014-12-24 21:40:05|  分类: 成果展示 |  标签: |举报 |字号 订阅

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本文转载自合肥市数学名师工作室《再谈“用字母表示数”》

再谈“用字母表示数”

作者:肥西县初中数学名师工作室 刘  钰

2014年《中小学数学》(初中版)第3期目录

 

安徽省肥西县金牛学校(231253)  刘 钰

关于“用字母表示数”这个知识点在课标教材中的编排位置,我在《“从用字母表示数”看“课标教材”与“大纲教材”》(发表在《中小学数学》初中版2008年第1-2期上)一文中主要从人教大纲版(我国在上世纪九十年代全国通用的根据当时的《数学教学大纲》编写的教材)对这个知识点的编排和当时我们使用的人教课标版教材(根据全日制义务教育《数学课程标准》实验稿编写的教科书,以下简称《课标版》)对这个知识点的编排作了对比,指出《课标版》的编排不合理。

但令人遗憾的是,历经第一轮课改的实验,在实验取得成功经验的基础上,根据中华人民共和国教育部在原课标实验稿的基础上制定的《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《新版标准》),全国各地对原有的课标教科书进行了重新修订,但无论是人教版、北师大版以及我们这个地区使用的沪科版教材,对“用字母表示数”这节内容的编排却有着惊人的雷同,和我们在第一轮使用的课改实验教材基本上保持一致:都是放在第一章《有理数》之后的《整式加减》的第一节。

下面我主要从“用字母表示数”这个知识点的孕育、发生到不断发展、充实的过程以及学段间教材对这个内容的衔接等方面再谈谈本人的看法,不当之处,还望各位给予指正。

研读过2011年版的数学新课标的同仁们都知道,在其标准中提到的“十大基本理念”中的“符号意识”是对原实验稿中的“符号感”的修订,我们暂且不论“意识”比“感”有着什么本质上的不同,先来看看“符号”到底为何物:从一般意义上说,所谓的“符号”就是针对具体的事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等构成了数学的符号系统。而“符号意识”是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应,它也是一种积极的心理倾向;数学符号最本质的意义就在于它是数学抽象的结果,这种数学抽象都是源于对数量(多与少)的抽象,源于从生活实践中加以抽象,逐渐形成规律,从而具有了“得到的结论”具有一般性,这个过程中很重要的一步就是使用字母这一符号来表示抽象出来的结果,所以我们说“用字母表示数”使学生的思维实现了由数到式的飞跃,它是对数的概括与抽象(对第三学段的学生来说,则是对实数的抽象概括),是有算术进入代数的全面开始,是整式乘除和代数运算的基础,更是学生以后学习方程、函数、不等式等内容的必备知识,同时“用字母表示数”解决了特殊与一般的关系,体现了“由特殊到一般”,再由“一般到特殊”的认识规律和思想方法,学生可以从中学会观察、分析、概括、抽象思维以及归纳总结等数学方法。再者“用字母表示数”还具有这样几个特点:⑴具有一般性或普遍性,如:用字母可以表示任何数或式子;⑵简明性,用字母代替数能更直观形象地反应规律,如:观察一列数的变化规律:0、3、8、15、24、…,它的第n个数是     。当学生发现这列数的变化规律并能用符号—字母把它表示出来后,就可以很快推算出第2013个数是多少了。⑶限制性,字母的取值应使具体的式子有意义,如: 中a≠0,  中的x≥0. ⑷确定性,字母取值后,该式子的值也随之确定。正因为“用字母表示数”显得如此重要,所以在《新版标准》中对这个知识点学习安排做了详细说明,由于第一学段的学生思维形式以具体形象为主,所以在本学段中安排了“探索简单情形下的变化规律”,这个内容重点在于探索的过程,在于学生从具体情境中,通过观察、计算、操作、思考等方式,了解蕴涵在问题情境中的规律,学会思考问题的方法,所涉及到的问题情境一般还是较为直观的;不过这个学段所涉及的还只是“数”的符号,并没有出现字母符号,我们只能说这是“用字母表示数”的前奏;第二学段在第一学段的基础上,继续学习相关的数与代数的内容,随着学生们的年龄增长,他们的思维水平和理解能力有所提高,学生处在由具体形象思维向抽象逻辑思维过度阶段。我们说从数到代数是数学表征的一次飞跃,数对于它所代表的具体事物来说是抽象的,而用字母表示数是又一次抽象,让学生从具体的情境中感知用字母表示数的含义,并了解这种表示方法的作用,继而初步体验符号在数学表示中的作用,初步建立了符号意识。同时在本学段中不但扩大了数的认识和运算范围,而且问题的情境更加复杂一些,更具有隐蔽性,所以字母的出现就顺理成章了,正是从本学段开始引入了用字母表示数和简易方程,这是学生学习数学的第二次抽象,当然这些字母所表示数的意义和认识还是较为模糊、肤浅的,即仅仅局限在自然数、正分数与正小数的范围内,无论是a+b=b+a,还是ab=ba。到了第二学段的后期开始让学生初步接触并了解负数,负数的引入,既是实际的需要,用以刻画现实世界中具体有相反意义的量;又是数学自身将数集扩充为有理数集的需要,用以解决数集与运算封闭性的矛盾。尽管此时学生了解了负数的意义,能用负数表示日常生活中的一些量,讨论了负数的实际意义,但是并未实施负数的运算,更不用说用字母可以表示负数,这也为学生在第三学段正式进入有理数的学习以及字母表示数的范围进一步扩大埋下了伏笔,而第三学段的学习内容正式从这个知识点开始衔接的。在第三学段的一开始,通过对正、负数意义的介绍,通过对相反意义的量的讨论,引入相反数、绝对值和有理数等等一系列的概念;学会用数轴上的点表示有理数,比较有理数的大小,掌握有理数的加减乘除和乘方运算法则和运算律,从而完成数系的第一次扩充,形成了有理数集的初步知识,此时客观世界中的数学规律变得简明了。之后出现的内容就是我们前面提到的“用字母表示数”了。

《新版标准》对“用字母表示数”这个知识点的预设——生成——发展——应用,充分体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用的过程。而以《新版标准》为依据而编写的各种教材对这个知识点的安排也是走这条线的。但对这个知识点的编排的各类教材无论是人教版的还是北师大版的以及我们这个地区目前所使用的沪科版,都是在讲完有理数后才正式安排了“用字母表示数”,虽然说在有理数这一章中出现了“用字母表示数”的内容,但没有一处提到可以用字母表示负数,所以这给我们在教学过程中带来了诸多的不便,如教科书(沪科版)1.2 数轴  相反数  绝对值,本节中用字母表示是扎堆出现,在习题中也出现了诸如当a是正数时,|a|=         ;当a是负数时,|a|=       ;当a是0时,|a|=       ; 我们在讲解本节内容时,讲得非常吃力,虽然作了诸多补充说明,但学生仍是满头雾水,这样的学习结果出现了学生在进入新的学段学习后,第一节学的还算可以,对新的学习内容还颇感兴趣,只要本节内容教完后,很多学生就产生了厌学情绪,学生普遍反应“听不懂”。针对这种情况,我和我的同事们作了深入研究后认为问题的出现主要是在“用字母表示数”这节内容的安排上。于是我们从2010秋季开始就做了这样的尝试:即在讲完1.1 正数和负数  后接着讲解“用字母表示数”,然后再学习1.2 数轴  相反数  绝对值,这样变动后,收到了很好的教学效果。一方面通过复习运用字母表示第二学段学过的法则和公式(如加法运算律、乘法运算律以及长方形面积公式、圆柱体积以及表面积公式等等),使学生对学过的内容进行了及时的回顾(因为从第二线段的学习结束到进行第三学段的学习毕竟间隔了近三个月的时间,很多知识都淡忘了),另一方面很自然地就引出了在表示加法、减法、乘法法则的活动中,正、负数的融入,使学生体会到了字母也可以代表负数,这些东西学生知道了后,再讲1.2 数轴  相反数  绝对值,学生就很容易理解和掌握了。所以说这样的安排⑴起到了承上启下作用,是小学数学与初中代数的紧密衔接;⑵进一步丰富了“用字母表示数”的内涵;⑶为后继知识的学习开了个好头、打下了良好的基础

最后我们来看看《新版标准》在“教材编写建议”中对教材的编写要求,它是这样描述的:“数学教材的编写应以本标准为依据”、“课程内容是按照学段制订的,并未规定学习内容的呈现顺序”,也就是说数学教材的编写,一方面要能准确反应《新版标准》对数学课程内容的阐述和要求,对数学学习和数学教学过程的刻画和定位,另一方面,数学教材中内容的呈现应当是有利于它的使用者——学生和老师。对于“用字母表示数”这句话的出现是在第三学段中“数与式”的第三小部分“代数式”中出现的,即“借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义”,注意:这句话中对“用字母表示数”说是“进一步理解”,而不是说就必须出现这部分内容中,事实上第一章《有理数》中多处出现字母,所以,我认为,我们把“用字母表示数”提到第一章的第二小节来进行讲解,并没有违反《新版标准》的要求,所以我们呼吁教材编写的专家们,应多听听一线教师的意见,从而编写出有利于调动教师主动性和积极性、有利于教师进行创造性教学、有利于学生学习数学的好教材。

 

参考文献:

⑴、《新课程理念与初中数学课程改革》,孙小天、张丹 主编 ,东北师范大学出版社2002年11月出版

⑵、《中小学数学》2008年第1—2期

⑶、《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中华人民共和国教育部制定,北京师范大学出版社2001年7月出版。

⑷、《义务教育数学课程标准(2011年版)》中华人民共和国教育部制定,北京师范大学出版集团2012年1月出版。

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